Scusate il lungo post, ma vorrei chiarire le basi necessarie e poi esporre il lavoro in modo prolisso ed esteso. Mi piacerebbe che abbiate la volonta' di leggere qualcosa sulla matematica, che non siano i soliti calcoli pallosi con la matita e la calcolatrice.
Vogliamo parlare di arte?
Ebbene la matematica per me e' un'arte in senso esteso. Ed ora ve lo faccio vedere...
(chi ha familiarita' con il concetto di "insieme" salti questo paragrafo)
Sin dalle elementari vi sono chiari i concetti di insieme, elemento, appartenenza.
Per esempio "un insieme di 6 mele". Ognuna di queste mele appartiene all'insieme. Possiamo dare anche un nome (sequenza di simboli) a queste mele: ma, mb, mc, md, me, mf.
Per esempio l'insieme dei presidenti degli stati uniti dal 1950 fino ad oggi!
Ogni oggetto di questo insieme viene chiamato elemento, ed in questo caso sono dei presidenti. Il numero di tali presidenti (detto numerosita') e' 6 (non sono sicuro, ma sto sparando una cifra a caso).
Usiamo una notazione abbastanza familiare: l'insieme si indica racchiudendo con parentesi graffe la lista (dei nomi) degli elementi separati da virgole. Es:
presidenti USA dal 1950 fino ad oggi = {bush jr, clinton, bush sr, ...}
I puntini di sospensione stanno ad indicare altre cose ovvie (che per esempio non scrivo perche' non me li ricordo tutti).
Date queste premesse, consideriamo l'insieme dei numeri interi N positivi:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Possiamo dare un'ordine: 0 e' il primo di questo insieme N, 1 e' il secondo, 2 il terzo, e cosi' via.
Anche all'insieme che definisco (costruisco) in questo modo posso dare un ordine:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} = positivi pari
0 e' il primo (di P), 2 il secondo, eccetera.
Anche a
D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} = positivi dispari
posso dare l'ordine: 1 e' il primo, 3 il secondo e cosi' via.
In generale il numero n dispari e' quello di posizione (n+1)/2, detto anche (n+1)/2-esimo. Ad esempio 11 e' quello di posizine (11+1)/2-esimo, cioe' 6-esimo, ovvero sesto.
La numerosita' di N e' "infinita", cosi' come le numerosita' di P e D. Cioe' ci sono infiniti numeri positivi interi, infiniti positivi pari, infiniti positivi dispari.
Il curioso si chiederebbe: ok che sono tutti e tre insiemi infiniti, ma quale ne ha di piu' di elementi?
Ora definisco l'insieme X come quello costruito facendo seguire i numeri di D a quelli di P, cioe' dopo P metto D:
X = {0, 2, 4, 6, 8, ..., 1, 3, 5, 7, 9, ...} = lista di tutti i pari seguita da tutti i dispari
L'insieme X e' uguale a N come contenuto perche' tutti gli elementi di X stanno in N, e viceversa, anche se su X e N definiamo degli ordinamenti diversi.
Infatti vediamo l'ordine di questo insieme X: 0 e' il primo, 2, il secondo, 4 il terzo, eccetera. In generale un numero pari n e' il (n/2)+1-esimo.
Ma 1 in X che posizione ha!!?? Non e' primo, ne' secondo, ne' terzo, e cosi' via. E' nella posizione....boh che direste voi? Infinitesima!?
E qui scatta la fantasia!! Cantor ha detto: "1 assume una precisa posizione, e io vorrei chiamarla posizione omega-esima!"
(Il nome non e' preso a caso visto che omega e' l'ultima lettera dell'alfabeto greco).
Quindi 3 e' in posizione omega+1-esima, 5 e' il omega+2-esimo, e cosi' via.
Omega rappresenta una "posizione infinita". Ma vediamo che c'e' una posizione oltre l'infinito: omega+1, omega+2.
Ma quanti sono questi posizioni infinite?
Si puo' provare ad usare tutta l'aritemetica classica con l'omega mantenendo le stesse notazioni!
Possiamo immaginare (e qui c'e' fantasia) le posizioni omega-1, omega-2
omega+omega = 2*omega
3*omega
omega*omega = omega^2 ("omega elevato al quadrato")
omega^3
omega^omega
...
Lode a chi e' arrivato a leggere fin qui
Abbiamo generato un bel po' di posizioni infinite....adesso vi pare ancora 1 solo l'infinito?
