I polinomi ad una variabile x su un campo K (per esempio K=R numeri reali) formano un anello, che denotiamo con K
Ma cosa vuol dire la divisione tra polinomi??
La divisione tra polinomio è definita nel senso che P(x)/Q(x) è
P(x) * (Q(x))^-1
cioè deve essere definita l'inversa di Q(x), in modo che Q(x)*(Q(x)^-1) =1
Se tutti gli oggetti Q(x) di K
- hanno inverso (tranne lo zero che non è mai invertibile) si dice che K
- è un corpo oltre che un anello, in realtà visto che + e * sono commutativi (cambiando l'ordine degli addendi o dei fattori il risultato non cambia!!) K
- è anche un campo (=corpo commutativo).
L'inversione dei polinomi si fa con l'algoritmo della divisione, anzi della LUNGA DIVISIONE, quella di Euclide in pratica (era il primo informatico!!
), cioè la divisione che avete imparato alle elementari distinguendo le singole cifre! Qui le cifre sono semplicemente i monomi!
D'altronde i numeri comunemente conosciuti sono elementi del campo K
- , dove K è il campo finito delle 10 cifre decimali.
Se provate a invertire il polinomio P(z)=(z^3+4z^2-5z+2):
Q(z)=P(z)^-1 = 1/P(x)
tramite l'algoritmo di Euclide vi accorgerete che andrete avanti all'infinito a svolgere la divisione, quindi dovete arrestarvi al passo che volete voi, ed avrete un certo resto della divisione, come alle elementari!
Ma idealmente se avete tempo e spazio (e voglia) di andare avanti all'infinito nella divisione otterrete una somma infinita di termini:
Q(z) = z^-3 -4z^-4 + ...
Abbiamo così scoperto che gli inversi dei polinomi sono le serie!!
In particolare le serie di potenze unilatere
Una divisione tra due polinomi si esegue con lo stesso algoritmo, dove il dividendo in genere non è 1.
Se tutti i fattori del denominatore si semplificano, il risultato è banalmente un polinomio.
Col metodo di Ruffini si pu? vedere se un polinomio è fattore di un altro, attraverso l'analisi delle radici.
